Номер 28.16, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.16, страница 267.

Условие.

28.16. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой $q = -\frac{1}{2}$, первый член $b_1 = 256$, а сумма всех членов $S_n = 170$.

Решение.

Для нахождения количества членов конечной геометрической прогрессии $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$ S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$

По условию задачи нам известны сумма всех членов прогрессии $S_n = 170$, первый член $b_1 = 256$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Подставим эти значения в формулу и решим полученное уравнение относительно $n$:

$$ 170 = \frac{256 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} $$

Сначала упростим знаменатель дроби в правой части уравнения:

$$ 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Теперь уравнение примет вид:

$$ 170 = \frac{256 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} $$

Чтобы найти выражение в числителе, умножим обе части уравнения на знаменатель $\frac{3}{2}$:

$$ 170 \cdot \frac{3}{2} = 256 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n) $$

$$ 85 \cdot 3 = 256 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n) $$

$$ 255 = 256 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n) $$

Разделим обе части уравнения на 256:

$$ \frac{255}{256} = 1 - (-\frac{1}{2})^n $$

Выразим из уравнения слагаемое $(-\frac{1}{2})^n$:

$$ (-\frac{1}{2})^n = 1 - \frac{255}{256} $$

$$ (-\frac{1}{2})^n = \frac{256}{256} - \frac{255}{256} $$

$$ (-\frac{1}{2})^n = \frac{1}{256} $$

Для нахождения $n$ представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $-\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $2^8 = 256$, следовательно:

$$ \frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} = (\frac{1}{2})^8 $$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$ (-\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^8 $$

Поскольку результат в правой части уравнения, $(\frac{1}{2})^8$, является положительным числом, а основание степени в левой части, $(-\frac{1}{2})$, отрицательное, показатель степени $n$ должен быть четным числом. Для любого четного $n$ справедливо равенство $(-\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^n$.

Это позволяет нам переписать уравнение следующим образом:

$$ (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^8 $$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$$ n = 8 $$

Ответ: 8.