Номер 28.17, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.17, страница 267.

Условие.

28.17. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой $q = 3$, последний член $c_n = 162$, а сумма всех членов $S_n = 242$.

Решение.

Пусть $c_1$ — первый член конечной геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, $n$ — количество членов, $c_n$ — её последний член, а $S_n$ — сумма всех её членов.

По условию задачи нам даны:

• знаменатель $q = 3$
• последний член $c_n = 162$
• сумма всех членов $S_n = 242$

Для решения задачи мы можем использовать две основные формулы для геометрической прогрессии:

1. Формула суммы первых $n$ членов через первый и последний члены: $S_n = \frac{c_n q - c_1}{q - 1}$

2. Формула n-го члена: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии ($c_1$)

Воспользуемся первой формулой, подставив в неё известные значения $S_n$, $c_n$ и $q$, чтобы найти $c_1$.

$242 = \frac{162 \cdot 3 - c_1}{3 - 1}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе дроби:

$242 = \frac{486 - c_1}{2}$

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

$484 = 486 - c_1$

Отсюда выразим $c_1$:

$c_1 = 486 - 484$

$c_1 = 2$

Итак, первый член прогрессии равен 2.

Шаг 2: Нахождение количества членов ($n$)

Теперь, зная $c_1=2$, $c_n=162$ и $q=3$, воспользуемся второй формулой для n-го члена:

$c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения:

$162 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить степень:

$81 = 3^{n-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим 81 как степень с основанием 3. Мы знаем, что $3^4 = 81$.

$3^4 = 3^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$4 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Таким образом, количество членов в данной конечной геометрической прогрессии равно 5.

Ответ: 5