Номер 28.11, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.11, страница 267.

Условие.

28.11. Найдите сумму квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $2\sqrt{3}$, а знаменатель равен $\sqrt{3}$.

Решение.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1 = 2\sqrt{3}$ и знаменателем $q = \sqrt{3}$.

Требуется найти сумму квадратов ее первых шести членов, то есть величину $S = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 + b_5^2 + b_6^2$.

Рассмотрим последовательность, членами которой являются квадраты членов исходной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \ldots$. Эта новая последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим ее члены как $c_n$.

Найдем первый член $c_1$ и знаменатель $q_c$ этой новой прогрессии.

Первый член $c_1$ равен квадрату первого члена исходной прогрессии:

$c_1 = b_1^2 = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Знаменатель $q_c$ равен квадрату знаменателя исходной прогрессии:

$q_c = q^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Таким образом, нам нужно найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии $c_n$, у которой первый член $c_1=12$ и знаменатель $q_c=3$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{c_1(q_c^n - 1)}{q_c - 1}$

Подставим наши значения: $n=6$, $c_1=12$, $q_c=3$.

$S_6 = \frac{12(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^6$: $3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Теперь подставим это значение в формулу суммы:

$S_6 = \frac{12(729 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 728}{2} = 6 \cdot 728$

Выполним умножение:

$6 \cdot 728 = 6 \cdot (700 + 20 + 8) = 4200 + 120 + 48 = 4368$.

Ответ: 4368