Номер 28.13, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.13, страница 267.

Условие.

28.13. Геометрическая прогрессия содержит $2n$ членов. Сумма членов, имеющих чётные номера, равна $A$, а сумма членов, имеющих нечётные номера, равна $B$. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Общее число членов прогрессии равно $2n$.

По условию, сумма членов, имеющих нечётные номера, равна $B$. Запишем эту сумму:

$B = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2n-1}$

Сумма членов, имеющих чётные номера, равна $A$. Запишем эту сумму:

$A = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2n}$

Каждый член геометрической прогрессии можно выразить через предыдущий член и знаменатель $q$ по формуле $b_k = b_{k-1} \cdot q$. Применим это свойство к членам с чётными номерами, входящим в сумму $A$:

• $b_2 = b_1 \cdot q$
• $b_4 = b_3 \cdot q$
• $b_6 = b_5 \cdot q$
• $\dots$
• $b_{2n} = b_{2n-1} \cdot q$

Подставим эти выражения в формулу для суммы $A$:

$A = (b_1 \cdot q) + (b_3 \cdot q) + (b_5 \cdot q) + \dots + (b_{2n-1} \cdot q)$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки:

$A = q \cdot (b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2n-1})$

Заметим, что выражение в скобках является суммой членов с нечётными номерами, то есть $B$. Таким образом, мы получаем соотношение:

$A = q \cdot B$

Из этого уравнения выразим знаменатель прогрессии $q$. Для этого необходимо, чтобы $B \neq 0$. Если $B=0$, то и $A=0$ (при $q \neq 0$), и знаменатель определить невозможно. Будем считать, что $B \neq 0$.

$q = \frac{A}{B}$

Ответ: $\frac{A}{B}$