Номер 28.10, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.10, страница 267.

Условие.

28.10. Сумму $n$ первых членов некоторой геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 6 \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)$. Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Решение.

Четвёртый член геометрической прогрессии ($b_4$) можно найти как разность между суммой первых четырёх членов ($S_4$) и суммой первых трёх членов ($S_3$). Общая формула для нахождения $n$-го члена через сумму выглядит так: $b_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n > 1$).

В задаче дана формула для суммы $n$ первых членов прогрессии: $S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1 \right)$.

1. Вычислим сумму первых четырёх членов ($S_4$), подставив $n=4$ в заданную формулу:

$S_4 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 1 \right) = 6 \left( \frac{1}{16} - 1 \right) = 6 \left( \frac{1}{16} - \frac{16}{16} \right) = 6 \left( -\frac{15}{16} \right) = -\frac{90}{16} = -\frac{45}{8}$.

2. Вычислим сумму первых трёх членов ($S_3$), подставив $n=3$ в заданную формулу:

$S_3 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 1 \right) = 6 \left( -\frac{1}{8} - 1 \right) = 6 \left( -\frac{1}{8} - \frac{8}{8} \right) = 6 \left( -\frac{9}{8} \right) = -\frac{54}{8} = -\frac{27}{4}$.

3. Теперь найдём четвёртый член прогрессии как разность $S_4$ и $S_3$:

$b_4 = S_4 - S_3 = -\frac{45}{8} - \left(-\frac{27}{4}\right) = -\frac{45}{8} + \frac{27}{4}$.

Приведём дроби к общему знаменателю 8:

$b_4 = -\frac{45}{8} + \frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{45}{8} + \frac{54}{8} = \frac{54 - 45}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$.