Номер 28.4, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии - номер 28.4, страница 266.

Условие.

28.4. Геометрическая прогрессия ($y_n$) задана формулой $n$-го члена

$y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}$. Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

Решение.

Геометрическая прогрессия $(y_n)$ задана формулой n-го члена $y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}$. Для того чтобы найти сумму десяти первых членов прогрессии ($S_{10}$), необходимо определить ее первый член ($y_1$) и знаменатель ($q$).

1. Найдем первый член прогрессии $y_1$
Для этого подставим $n=1$ в заданную формулу:
$y_1 = \frac{(-2)^{1+1}}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$
Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену: $q = \frac{y_{n+1}}{y_n}$. Найдем $y_2$:
$y_2 = \frac{(-2)^{2+1}}{20} = \frac{(-2)^3}{20} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$.
Теперь вычислим знаменатель $q$:
$q = \frac{y_2}{y_1} = \frac{-2/5}{1/5} = -2$.

3. Вычислим сумму десяти первых членов прогрессии $S_{10}$
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{y_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения $n=10$, $y_1 = \frac{1}{5}$ и $q = -2$:
$S_{10} = \frac{\frac{1}{5}((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1} = \frac{\frac{1}{5}(1024 - 1)}{-3} = \frac{\frac{1}{5} \cdot 1023}{-3}$.
$S_{10} = \frac{1023}{5 \cdot (-3)} = \frac{1023}{-15}$.
Выполним деление:
$S_{10} = -68.2$.

Ответ: $-68.2$.