Номер 27.36, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.36, страница 264.

Условие.

27.36. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству:

$\sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{3-x} \cdot \sqrt{-y-2}$

Решение.

Рассмотрим данное равенство: $\sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{3-x} \cdot \sqrt{-y-2}$.

Заметим, что $3-x = -(x-3)$ и $-y-2 = -(y+2)$.

Тогда равенство можно переписать, сделав замены $a=3-x$ и $b=-y-2$. В этом случае $x-3=-a$ и $y+2=-b$. Левая часть уравнения примет вид:

$\sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{ab}$.

Правая часть уравнения: $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{-y-2} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.

Свойство квадратного корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ справедливо тогда и только тогда, когда оба множителя $a$ и $b$ неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Следовательно, исходное равенство будет верным для тех и только тех значений $x$ и $y$, для которых подкоренные выражения в правой части неотрицательны. Это и есть область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения.

Запишем систему неравенств, определяющую ОДЗ:

$$ \begin{cases} 3-x \geq 0 \\ -y-2 \geq 0 \end{cases} $$

Решим эту систему:

Из первого неравенства получаем $x \leq 3$.

Из второго неравенства получаем $-y \geq 2$, что эквивалентно $y \leq -2$.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному равенству, — это множество точек, координаты которых удовлетворяют системе:

$$ \begin{cases} x \leq 3 \\ y \leq -2 \end{cases} $$

При выполнении этих условий подкоренное выражение в левой части, $(x-3)(y+2)$, также будет неотрицательным, поскольку $x-3 \le 0$ и $y+2 \le 0$, а произведение двух неположительных чисел всегда неотрицательно.

Изобразим найденное множество точек на координатной плоскости.

Неравенство $x \leq 3$ задает полуплоскость, расположенную слева от вертикальной прямой $x=3$, включая саму прямую.

Неравенство $y \leq -2$ задает полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=-2$, включая саму прямую.

Искомое множество точек является пересечением этих двух полуплоскостей. Это неограниченная область, представляющая собой четверть плоскости с вершиной в точке $(3, -2)$, ограниченная справа лучом $x=3$ (для $y \le -2$) и сверху лучом $y=-2$ (для $x \le 3$).

Ответ: Искомое множество точек представляет собой четверть координатной плоскости, заданную системой неравенств $\begin{cases} x \leq 3 \\ y \leq -2 \end{cases}$. Эта область ограничена сверху лучом $y=-2$ ($x \le 3$) и справа лучом $x=3$ ($y \le -2$), с вершиной в точке $(3, -2)$.