Номер 27.32, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.32, страница 263.

Условие.

27.32. Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что сумма их равна 26, а сумма квадратов этих чисел равна 364.

Решение.

27.32

Обозначим три искомых числа, образующие геометрическую прогрессию, как $b_1$, $b_2$ и $b_3$.

По условию задачи их сумма равна 26, а сумма их квадратов равна 364. Запишем это в виде системы уравнений:

$b_1 + b_2 + b_3 = 26$

$b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 364$

Для членов геометрической прогрессии справедливо свойство: квадрат среднего члена равен произведению соседних, то есть $b_2^2 = b_1 b_3$.

Возведем первое уравнение ($b_1 + b_2 + b_3 = 26$) в квадрат:

$(b_1 + b_2 + b_3)^2 = 26^2$

$b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + 2(b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_1 b_3) = 676$

Подставим в это уравнение известное значение суммы квадратов из второго уравнения ($b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 364$):

$364 + 2(b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_1 b_3) = 676$

Теперь найдем сумму попарных произведений:

$2(b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_1 b_3) = 676 - 364$

$2(b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_1 b_3) = 312$

$b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_1 b_3 = 156$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии $b_1 b_3 = b_2^2$ и подставим его в полученное равенство:

$b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_2^2 = 156$

Вынесем $b_2$ за скобки:

$b_2(b_1 + b_3 + b_2) = 156$

Выражение в скобках $(b_1 + b_2 + b_3)$ равно сумме трех чисел, которая по условию равна 26. Подставим это значение:

$b_2 \cdot 26 = 156$

Отсюда найдем второй член прогрессии $b_2$:

$b_2 = \frac{156}{26} = 6$

Зная второй член, найдем два других. Из первого уравнения системы:

$b_1 + 6 + b_3 = 26 \Rightarrow b_1 + b_3 = 20$

Из свойства геометрической прогрессии:

$b_1 b_3 = b_2^2 = 6^2 = 36$

Мы получили систему уравнений для $b_1$ и $b_3$:

$b_1 + b_3 = 20$

$b_1 b_3 = 36$

Согласно обратной теореме Виета, $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 20t + 36 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 = 16^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Следовательно, искомые числа - это 2, 6 и 18.

Проверка:

1. Числа 2, 6, 18 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 3$.

2. Сумма чисел: $2 + 6 + 18 = 26$.

3. Сумма квадратов: $2^2 + 6^2 + 18^2 = 4 + 36 + 324 = 364$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 2, 6, 18.