Номер 27.26, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.26, страница 263.

Условие.

27.26. При каком значении $x$ значения выражений $x + 6$, $x + 2$ и $3x - 4$ являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Пусть данные выражения являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3$:

$b_1 = x + 6$
$b_2 = x + 2$
$b_3 = 3x - 4$

Для любой геометрической прогрессии справедливо характеристическое свойство: квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов. То есть:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в это равенство, чтобы найти значение $x$:

$(x + 2)^2 = (x + 6)(3x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 3x \cdot x - 4 \cdot x + 6 \cdot 3x - 6 \cdot 4$
$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x - 24$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 + 14x - 4x - 24 - 4 = 0$
$2x^2 + 10x - 28 = 0$

Для удобства разделим всё уравнение на 2:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна -5, а произведение равно -14. Этими числами являются -7 и 2.

$x_1 = -7$
$x_2 = 2$

Мы нашли два возможных значения $x$. Теперь для каждого из них найдём члены прогрессии.

1. При $x = 2$:

Подставим значение $x = 2$ в исходные выражения:

$b_1 = 2 + 6 = 8$
$b_2 = 2 + 2 = 4$
$b_3 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$

В этом случае члены прогрессии: 8, 4, 2. Это убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1/2$.

2. При $x = -7$:

Подставим значение $x = -7$ в исходные выражения:

$b_1 = -7 + 6 = -1$
$b_2 = -7 + 2 = -5$
$b_3 = 3 \cdot (-7) - 4 = -21 - 4 = -25$

В этом случае члены прогрессии: -1, -5, -25. Это возрастающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 5$.

Ответ: при $x=2$ члены прогрессии равны 8, 4, 2; при $x=-7$ члены прогрессии равны -1, -5, -25.