Номер 27.19, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.19, страница 262.

Условие.

27.19. Докажите, что для геометрической прогрессии ($b_n$) справедливо равенство:

$b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m}$, $k > m$.

Решение.

Пусть $(b_n)$ – геометрическая прогрессия, $b_1$ – её первый член, а $q$ – знаменатель.

По определению, формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Чтобы доказать равенство $b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m}$, выразим его левую и правую части через $b_1$ и $q$.

1. Преобразуем левую часть равенства:

$b_n \cdot b_k = (b_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{k-1})$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$b_n \cdot b_k = b_1^2 \cdot q^{(n-1) + (k-1)} = b_1^2 \cdot q^{n+k-2}$

2. Преобразуем правую часть равенства:

$b_{n+m} \cdot b_{k-m} = (b_1 \cdot q^{(n+m)-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{(k-m)-1})$

$b_{n+m} \cdot b_{k-m} = b_1^2 \cdot q^{(n+m-1) + (k-m-1)}$

Сложим показатели степени:

$b_{n+m} \cdot b_{k-m} = b_1^2 \cdot q^{n+m-1+k-m-1} = b_1^2 \cdot q^{n+k-2}$

3. Сравнение результатов:

Левая часть равна $b_1^2 \cdot q^{n+k-2}$.

Правая часть равна $b_1^2 \cdot q^{n+k-2}$.

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению, то исходное равенство $b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m}$ является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.