Номер 27.12, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.12, страница 262.

Условие.

27.12. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 5 \cdot 4^{n-2}$.

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Решение.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли частное от деления последующего члена на предыдущий, то есть $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, постоянной величиной, не зависящей от $n$. Если это условие выполняется, то последовательность является геометрической прогрессией, а это частное — её знаменателем $q$.

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?
Заданная формула $n$-го члена: $b_n = 5 \cdot 4^{n-2}$.
Найдем $(n+1)$-й член, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = 5 \cdot 4^{(n+1)-2} = 5 \cdot 4^{n-1}$.
Теперь вычислим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot 4^{n-1}}{5 \cdot 4^{n-2}} = \frac{4^{n-1}}{4^{n-2}} = 4^{(n-1)-(n-2)} = 4^{n-1-n+2} = 4^1 = 4$.
Поскольку отношение является постоянным числом (равно 4) и не зависит от $n$, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.

В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.
Мы уже выяснили, что знаменатель прогрессии $q$ равен 4, так как $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = 4$.
Для нахождения первого члена $b_1$ подставим в исходную формулу значение $n=1$:
$b_1 = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Ответ: Да, последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = \frac{5}{4}$ и знаменателем $q = 4$.