Номер 27.6, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.6, страница 261.

Условие.

27.6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_1 = \frac{1}{2}$, $b_8 = 64$;

2) $b_6 = 75$, $b_8 = 27$.

Решение.

1) Дано: $b_1 = \frac{1}{2}$, $b_8 = 64$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Чтобы найти знаменатель $q$, подставим в формулу известные значения для $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

$64 = \frac{1}{2} \cdot q^7$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$. Умножим обе части уравнения на 2:

$64 \cdot 2 = q^7$

$128 = q^7$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень седьмой степени из 128. Так как $2^7 = 128$, получаем:

$q = \sqrt[7]{128} = 2$

Ответ: $2$.

2) Дано: $b_6 = 75$, $b_8 = 27$.

Для нахождения знаменателя прогрессии, когда известны два её члена, удобно использовать формулу $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Подставим в эту формулу наши значения, приняв $m=8$ и $k=6$:

$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6}$

$27 = 75 \cdot q^2$

Выразим из этого уравнения $q^2$:

$q^2 = \frac{27}{75}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$q^2 = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что уравнение $x^2 = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

$q = \pm\sqrt{\frac{9}{25}}$

$q = \pm\frac{3}{5}$

Следовательно, знаменатель прогрессии может быть равен как $\frac{3}{5}$, так и $-\frac{3}{5}$.

Ответ: $\pm\frac{3}{5}$.