Номер 27.9, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.9, страница 261.

Условие.

27.9. Число 96 является членом геометрической прогрессии $ \frac{3}{8}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \ldots $

Найдите номер этого члена.

Решение.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где первый член $b_1 = \frac{3}{8}$, а второй член $b_2 = \frac{3}{4}$.

Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/4}{3/8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{4} = 2$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, $b_n = 96$. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти номер члена $n$:

$96 = \frac{3}{8} \cdot 2^{n-1}$

Чтобы решить это уравнение, выразим $2^{n-1}$:

$2^{n-1} = 96 \div \frac{3}{8}$

$2^{n-1} = 96 \cdot \frac{8}{3}$

$2^{n-1} = 32 \cdot 8$

$2^{n-1} = 256$

Теперь представим число 256 как степень числа 2. Известно, что $2^8 = 256$.

Получаем уравнение:

$2^{n-1} = 2^8$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели:

$n - 1 = 8$

$n = 8 + 1$

$n = 9$

Следовательно, число 96 является девятым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 9