Номер 27.7, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.7, страница 261.

Условие.

27.7. Найдите первый член геометрической прогрессии ($c_n$), если:

1) $c_4 = \frac{1}{98}$, а знаменатель $q = \frac{2}{7}$;

2) $c_6 = 100$, $c_9 = 100\,000$.

Решение.

1)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $c_1$ используется формула n-го члена: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

По условию задачи даны четвертый член прогрессии $c_4 = \frac{1}{98}$ и знаменатель $q = \frac{2}{7}$.

Подставим известные значения в формулу для $n=4$:
$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$

Выразим из этой формулы $c_1$:
$c_1 = \frac{c_4}{q^3}$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:
$c_1 = \frac{\frac{1}{98}}{(\frac{2}{7})^3} = \frac{\frac{1}{98}}{\frac{8}{343}} = \frac{1}{98} \cdot \frac{343}{8}$

Упростим полученное выражение, разложив числа на множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$ и $343 = 7^3$.
$c_1 = \frac{1}{2 \cdot 7^2} \cdot \frac{7^3}{8} = \frac{7^{3-2}}{2 \cdot 8} = \frac{7}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$.

2)

В данном случае известны два члена прогрессии: $c_6 = 100$ и $c_9 = 100\;000$.

Запишем формулу n-го члена для каждого из них:
$c_6 = c_1 \cdot q^5 = 100$
$c_9 = c_1 \cdot q^8 = 100\;000$

Для нахождения знаменателя $q$ разделим второе уравнение на первое:
$\frac{c_9}{c_6} = \frac{c_1 \cdot q^8}{c_1 \cdot q^5}$
$\frac{100\;000}{100} = q^{8-5}$
$1000 = q^3$

Отсюда находим значение $q$:
$q = \sqrt[3]{1000} = 10$

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член $c_1$, используя любое из двух исходных уравнений. Воспользуемся первым: $c_6 = c_1 \cdot q^5$.
$100 = c_1 \cdot 10^5$
$100 = c_1 \cdot 100\;000$

Выразим и вычислим $c_1$:
$c_1 = \frac{100}{100\;000} = \frac{1}{1000} = 0.001$

Ответ: $0.001$.