Вопросы?, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - страница 261.

Условие.

1. Какую последовательность называют геометрической прогрессией?

2. Какое число называют знаменателем геометрической прогрессии?

3. Какой вид имеет формула $n$-го члена геометрической прогрессии?

4. Каковы необходимое и достаточное условия того, что данная последовательность, содержащая более двух членов, является геометрической прогрессией?

Решение.

1. Какую последовательность называют геометрической прогрессией?

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число. Иначе говоря, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняются условия: $b_n \neq 0$ и существует такое число $q \neq 0$, что $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Ответ:

2. Какое число называют знаменателем геометрической прогрессии?

Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное число $q$, на которое умножается каждый член прогрессии для получения следующего члена. Знаменатель можно найти, разделив любой член прогрессии (начиная со второго) на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Ответ:

3. Какой вид имеет формула n-го члена геометрической прогрессии?

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ имеет следующий вид:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
где $b_n$ — $n$-й член прогрессии, $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена.
Ответ:

4. Каковы необходимое и достаточное условия того, что данная последовательность, содержащая более двух членов, является геометрической прогрессией?

Необходимое и достаточное условие (также известное как характеристическое свойство геометрической прогрессии) состоит в следующем: последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов (предыдущего и последующего).
В виде формулы это условие записывается так:
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для любого $n \ge 2$.
Ответ: