Номер 26.41, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.41, страница 256.

Условие.

26.41. В арифметической прогрессии $S_n = m$, $S_m = n$, $m \neq n$. Найдите $S_{m+n}$.

Решение.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_k)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$

Согласно условию задачи, имеем два равенства:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = m$

$S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m = n$

Запишем эти равенства в виде системы уравнений:

$\begin{cases} 2a_1n + n(n-1)d = 2m \\ 2a_1m + m(m-1)d = 2n \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2a_1n + n(n-1)d) - (2a_1m + m(m-1)d) = 2m - 2n$

Сгруппируем слагаемые при $2a_1$ и $d$:

$2a_1(n-m) + [n(n-1) - m(m-1)]d = 2(m-n)$

Преобразуем выражение в квадратных скобках:

$n(n-1) - m(m-1) = n^2 - n - m^2 + m = (n^2 - m^2) - (n - m) = (n-m)(n+m) - (n-m) = (n-m)(n+m-1)$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2a_1(n-m) + (n-m)(n+m-1)d = -2(n-m)$

По условию $m \neq n$, следовательно, $n-m \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(n-m)$:

$2a_1 + (n+m-1)d = -2$

Теперь нам нужно найти $S_{m+n}$. Используем ту же формулу для суммы:

$S_{m+n} = \frac{2a_1 + (m+n-1)d}{2} \cdot (m+n)$

Мы уже нашли, что выражение $2a_1 + (m+n-1)d$ равно $-2$. Подставим это значение в формулу:

$S_{m+n} = \frac{-2}{2} \cdot (m+n) = -1 \cdot (m+n) = -(m+n)$

Ответ: $-(m+n)$.