Номер 26.38, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.38, страница 255.

Условие.

26.38. (Задача Гипсикла Александрийского¹.) Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

Решение.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_k)$, состоящая из $2n$ членов (чётное количество). Так как прогрессия состоит из целых чисел, её первый член $a_1$ и разность $d$ являются целыми числами. Половина количества членов равна $n$, а квадрат половины количества членов — $n^2$.

Сумма первой половины прогрессии (первые $n$ членов) обозначается как $S_1$:
$S_1 = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

Сумма второй половины прогрессии (последние $n$ членов) обозначается как $S_2$:
$S_2 = a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}$

Требуется доказать, что разность $S_2 - S_1$ является положительным числом, кратным $n^2$.

Вычислим разность $S_2 - S_1$, сгруппировав члены попарно:
$S_2 - S_1 = (a_{n+1} - a_1) + (a_{n+2} - a_2) + \dots + (a_{2n} - a_n)$

Для любой такой пары $(a_{n+k}, a_k)$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$, разность можно выразить через разность прогрессии $d$. Используем формулу $k$-го члена $a_k = a_1 + (k-1)d$:
$a_{n+k} - a_k = (a_1 + (n+k-1)d) - (a_1 + (k-1)d)$
$a_{n+k} - a_k = a_1 + nd + kd - d - a_1 - kd + d = nd$

Как видим, разность для каждой из $n$ пар одинакова и равна $nd$. Тогда общая разность $S_2 - S_1$ является суммой $n$ таких слагаемых:
$S_2 - S_1 = \sum_{k=1}^{n} (a_{n+k} - a_k) = \sum_{k=1}^{n} (nd) = n \cdot (nd) = n^2d$

Из условия, что «сумма второй половины больше суммы первой половины», следует, что $S_2 - S_1 > 0$, то есть $n^2d > 0$. Поскольку $n \ge 1$, то и $n^2 > 0$, значит, разность прогрессии $d$ должна быть положительной. Так как $d$ — целое число, то $d$ — натуральное число ($d \ge 1$).

Таким образом, разность сумм $S_2 - S_1$ равна $n^2d$, где $n^2$ — квадрат половины количества членов, а $d$ — целое положительное число. Это означает, что разность $S_2 - S_1$ кратна $n^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Разность между суммой второй и первой половин членов прогрессии равна $n^2d$, где $n$ — половина количества членов, а $d$ — разность прогрессии. Так как члены прогрессии — целые числа, $d$ также является целым числом. Следовательно, разность $n^2d$ кратна $n^2$, то есть кратна квадрату половины количества членов.