Номер 26.37, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.37, страница 255.

Условие.

26.37. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое $n$ первых членов при любом $n$ равно их количеству.

Решение.

Пусть $a_1$ — первый член и $d$ — разность искомой арифметической прогрессии $(a_n)$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ находится по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Среднее арифметическое первых $n$ членов равно $\frac{S_n}{n}$.

Согласно условию задачи, среднее арифметическое первых $n$ членов равно их количеству, то есть $n$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{S_n}{n} = n$

Подставим в это уравнение формулу для $S_n$:

$\frac{\frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n}{n} = n$

Сократим $n$ в левой части (поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$):

$\frac{2a_1 + (n-1)d}{2} = n$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2a_1 + (n-1)d = 2n$

Раскроем скобки в левой части:

$2a_1 + nd - d = 2n$

Перегруппируем слагаемые, чтобы явно показать зависимость от $n$:

$d \cdot n + (2a_1 - d) = 2 \cdot n + 0$

Данное равенство должно быть верным для любого натурального числа $n$. Это возможно только в том случае, если коэффициенты при $n$ и свободные члены в левой и правой частях уравнения соответственно равны.

Приравниваем коэффициенты при $n$:

$d = 2$

Приравниваем свободные члены (не зависящие от $n$):

$2a_1 - d = 0$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} d = 2 \\ 2a_1 - d = 0 \end{cases}$

Подставим значение $d=2$ из первого уравнения во второе:

$2a_1 - 2 = 0$

$2a_1 = 2$

$a_1 = 1$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 1, а ее разность равна 2.

Ответ: первый член равен 1, разность равна 2.