Номер 26.35, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.35, страница 255.

Условие.

26.35. Решите уравнение:

1) $7 + 13 + 19 + ... + (6n + 1) = 480$, где $n$ — натуральное число;

2) $5 + 8 + 11 + ... + x = 124$, где $x$ — натуральное число.

Решение.

1)

Данное уравнение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Найдем разность прогрессии $d$: $d = 13 - 7 = 6$.

Общий член этой прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d = 7 + (k-1) \cdot 6 = 6k+1$. Последний член в сумме, $(6n+1)$, получается при $k=n$. Следовательно, в сумме ровно $n$ слагаемых.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения в формулу суммы: $a_1 = 7$, $d = 6$, $S_n = 480$.

$\frac{2 \cdot 7 + (n-1) \cdot 6}{2} \cdot n = 480$

$\frac{14 + 6n - 6}{2} \cdot n = 480$

$\frac{8 + 6n}{2} \cdot n = 480$

$(4 + 3n) \cdot n = 480$

$3n^2 + 4n - 480 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-480) = 16 + 12 \cdot 480 = 16 + 5760 = 5776$.

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$.

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6} = -\frac{40}{3}$.

По условию, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -\frac{40}{3}$ не подходит.

Таким образом, $n = 12$.

Ответ: $12$.

2)

Данное уравнение также представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 5$.

Найдем разность прогрессии $d$: $d = 8 - 5 = 3$.

Последний член прогрессии равен $x$. Пусть это $n$-й член прогрессии, то есть $a_n = x$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения: $x = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения в формулу суммы: $a_1 = 5$, $a_n = x$, $S_n = 124$.

$\frac{5 + x}{2} \cdot n = 124$

Мы получили два уравнения, связывающие $x$ и $n$: $x = 3n + 2$ и $(5+x) \cdot n = 248$.

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(5 + (3n + 2)) \cdot n = 248$

$(7 + 3n) \cdot n = 248$

$3n^2 + 7n - 248 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-248) = 49 + 12 \cdot 248 = 49 + 2976 = 3025$.

$\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 55}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8$.

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 55}{2 \cdot 3} = \frac{-62}{6} = -\frac{31}{3}$.

Поскольку $n$ — это количество членов в сумме, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, $n = 8$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $n$ в формулу для $x$:

$x = 3n + 2 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26$.

По условию, $x$ — натуральное число, что соответствует найденному значению.

Ответ: $26$.