Номер 26.28, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.28, страница 255.

Условие.

26.28. Сумма нечётных номеров страниц книги является нечётным числом, большим 400 и меньшим 500. Сколько страниц в книге?

Решение.

Пусть в книге $N$ страниц. Номера нечётных страниц образуют арифметическую прогрессию: $1, 3, 5, 7, ...$

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставив наши значения, получим формулу для суммы первых $n$ нечётных чисел:

$S_n = \frac{2 \cdot 1 + 2(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.

Таким образом, сумма $n$ первых нечётных чисел равна $n^2$.

По условию задачи, эта сумма является нечётным числом, большим 400 и меньшим 500. Запишем это в виде двойного неравенства:

$400 < n^2 < 500$

Найдём целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству. Для этого извлечём квадратный корень:

$\sqrt{400} < n < \sqrt{500}$

$20 < n < 22,36...$

Поскольку $n$ (количество нечётных страниц) должно быть целым числом, возможными значениями для $n$ являются 21 и 22.

Теперь воспользуемся условием, что сумма ($S_n = n^2$) является нечётным числом.

1. Если $n = 21$ (нечётное число), то сумма $S_{21} = 21^2 = 441$. Число 441 является нечётным и лежит в интервале от 400 до 500. Это решение подходит.

2. Если $n = 22$ (чётное число), то сумма $S_{22} = 22^2 = 484$. Число 484 является чётным, что противоречит условию задачи.

Следовательно, количество нечётных страниц в книге равно $n=21$.

Найдём номер последней нечётной страницы. Это 21-й член нашей арифметической прогрессии:

$a_{21} = a_1 + d(n-1) = 1 + 2(21-1) = 1 + 2 \cdot 20 = 41$.

Итак, последняя нечётная страница в книге имеет номер 41. Это означает, что общее количество страниц в книге не меньше 41.

Возможны два случая:

• Книга заканчивается на этой нечётной странице. Тогда в ней 41 страница.
• После 41-й страницы есть ещё одна, чётная страница с номером 42. Тогда в книге 42 страницы.

В обоих случаях набор нечётных страниц (от 1 до 41) и их сумма (441) будут одинаковыми и удовлетворять условию задачи. Если бы в книге было 43 страницы, то добавился бы ещё один нечётный номер, и сумма стала бы другой.

Таким образом, в книге может быть 41 или 42 страницы.

Ответ: 41 или 42.