Номер 26.24, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.24, страница 254.

Условие.

26.24. Какое наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с числа 7, надо сложить, чтобы получить сумму, большую чем 315?

Решение.

Последовательность последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с 7, представляет собой арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 7$.

Так как числа являются последовательными нечётными, разность прогрессии $d = 2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии находится по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $a_1 = 7$ и $d = 2$: $S_n = \frac{2 \cdot 7 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение для суммы: $S_n = \frac{14 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{12 + 2n}{2} \cdot n = (6 + n)n = n^2 + 6n$

По условию задачи, сумма должна быть больше 315. Составим и решим неравенство: $S_n > 315$ $n^2 + 6n > 315$

Перенесём все члены в левую часть: $n^2 + 6n - 315 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдём корни соответствующего уравнения $n^2 + 6n - 315 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296$

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-6 - 36}{2} = \frac{-42}{2} = -21$ $n_2 = \frac{-6 + 36}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Графиком функции $y = n^2 + 6n - 315$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $n^2 + 6n - 315 > 0$ выполняется при $n < -21$ или $n > 15$.

Поскольку $n$ — это количество чисел, оно должно быть натуральным числом, то есть $n > 0$. Из полученных решений нам подходит $n > 15$.

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это 16.

Выполним проверку:

При $n=15$, сумма $S_{15} = 15^2 + 6 \cdot 15 = 225 + 90 = 315$. Эта сумма не больше 315.

При $n=16$, сумма $S_{16} = 16^2 + 6 \cdot 16 = 256 + 96 = 352$. Эта сумма больше 315.

Следовательно, наименьшее необходимое количество чисел — 16.

Ответ: 16.