Номер 26.20, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.20, страница 254.

Условие.

26.20. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 7.

Решение.

26.20.

Чтобы найти сумму всех трехзначных чисел, кратных 7, мы будем использовать свойства арифметической прогрессии. Последовательность трехзначных чисел, кратных 7, представляет собой арифметическую прогрессию с разностью $d=7$.

1. Сначала найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Это наименьшее трехзначное число, которое делится на 7. Наименьшее трехзначное число — 100.
Разделим 100 на 7: $100 = 7 \times 14 + 2$. Остаток равен 2.
Следовательно, наименьшее трехзначное число, кратное 7, будет $100 - 2 + 7 = 105$. Итак, $a_1 = 105$.

2. Затем найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее трехзначное число, которое делится на 7. Наибольшее трехзначное число — 999.
Разделим 999 на 7: $999 = 7 \times 142 + 5$. Остаток равен 5.
Следовательно, наибольшее трехзначное число, кратное 7, будет $999 - 5 = 994$. Итак, $a_n = 994$.

3. Теперь определим количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$994 = 105 + (n-1) \times 7$
$994 - 105 = (n-1) \times 7$
$889 = (n-1) \times 7$
$n-1 = \frac{889}{7}$
$n-1 = 127$
$n = 128$
Таким образом, существует 128 трехзначных чисел, кратных 7.

4. Наконец, вычислим сумму этих чисел ($S_n$), используя формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$.
Подставим наши значения:
$S_{128} = \frac{(105 + 994) \times 128}{2}$
$S_{128} = \frac{1099 \times 128}{2}$
$S_{128} = 1099 \times 64$
$S_{128} = 70336$.

Ответ: 70336