Номер 26.14, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.14, страница 254.

Условие.

26.14 Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-6.2$; $-5.9$; $-5.6$; ...

Решение.

26.14.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с членами: -6,2; -5,9; -5,6; ...

Для нахождения суммы всех отрицательных членов прогрессии необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить параметры прогрессии: первый член $a_1$ и разность $d$.

Первый член $a_1 = -6,2$.

Разность прогрессии $d$ найдем как разность между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = -5,9 - (-6,2) = -5,9 + 6,2 = 0,3$.

2. Найти количество отрицательных членов прогрессии.

Для этого нужно найти, при каких натуральных значениях $n$ член прогрессии $a_n$ будет меньше нуля. Составим и решим неравенство $a_n < 0$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$-6,2 + (n-1) \cdot 0,3 < 0$

$0,3(n-1) < 6,2$

$n-1 < \frac{6,2}{0,3}$

$n-1 < \frac{62}{3}$

$n-1 < 20\frac{2}{3}$

$n < 21\frac{2}{3}$

Поскольку $n$ — это порядковый номер члена прогрессии и должно быть натуральным числом, то наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 21. Таким образом, в данной прогрессии 21 отрицательный член (с 1-го по 21-й включительно).

3. Вычислить сумму этих членов.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму первых 21 членов ($S_{21}$):

$S_{21} = \frac{2 \cdot (-6,2) + (21-1) \cdot 0,3}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{-12,4 + 20 \cdot 0,3}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{-12,4 + 6}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{-6,4}{2} \cdot 21$

$S_{21} = -3,2 \cdot 21 = -67,2$

Альтернативный способ — найти последний отрицательный член $a_{21}$ и использовать формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$a_{21} = a_1 + (21-1)d = -6,2 + 20 \cdot 0,3 = -6,2 + 6 = -0,2$.

$S_{21} = \frac{-6,2 + (-0,2)}{2} \cdot 21 = \frac{-6,4}{2} \cdot 21 = -3,2 \cdot 21 = -67,2$.

Ответ: -67,2