Номер 26.9, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.9, страница 253.

Условие.

26.9. Чему равна сумма $n$ первых чётных натуральных чисел?

Решение.

Чтобы найти сумму $n$ первых чётных натуральных чисел, нужно найти значение выражения $2 + 4 + 6 + \dots + 2n$. Последовательность чётных натуральных чисел $2, 4, 6, \dots, 2n$ является арифметической прогрессией. Для нахождения её суммы можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии

В данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 2$, $n$-й член $a_n = 2n$, а количество членов равно $n$. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим значения $a_1$ и $a_n$ в формулу:
$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n = n(n + 1)$

Способ 2: Вынесение общего множителя

Запишем искомую сумму:
$S_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S_n = 2(1 + 2 + 3 + \dots + n)$
Выражение в скобках представляет собой сумму первых $n$ натуральных чисел, для которой существует известная формула: $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Подставим это значение в наше выражение для $S_n$:
$S_n = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Таким образом, сумма $n$ первых чётных натуральных чисел вычисляется по формуле $n(n + 1)$.

Ответ: $n(n+1)$