Номер 26.12, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.12, страница 254.

Условие.

26.12. (Старинная египетская задача.) Сто мер хлеба надо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних.

Сколько надо дать каждому?

Решение.

Пусть пять человек получили $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ и $a_5$ мер хлеба соответственно.

Из условия, что второй получил на столько же больше первого, на сколько третий больше второго, и так далее, следует, что количества хлеба образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии (долю первого человека) как $a_1$, а разность прогрессии как $d$.

Тогда доли каждого человека можно выразить следующим образом:
Первый: $a_1$
Второй: $a_2 = a_1 + d$
Третий: $a_3 = a_1 + 2d$
Четвертый: $a_4 = a_1 + 3d$
Пятый: $a_5 = a_1 + 4d$

Для нахождения $a_1$ и $d$ составим систему уравнений на основе двух условий из задачи.

1. Общее количество хлеба равно 100 мер.

Сумма всех долей равна 100:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 100$

Подставим выражения через $a_1$ и $d$:

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 100$

$5a_1 + 10d = 100$

Разделив обе части уравнения на 5, получаем первое уравнение:

$a_1 + 2d = 20$

Интересно отметить, что $a_1 + 2d$ — это в точности доля третьего человека, $a_3$. Таким образом, мы уже знаем, что третий человек получил 20 мер хлеба.

2. Двое первых получили в 7 раз меньше, чем трое последних.

Это условие можно записать в виде уравнения:

$7(a_1 + a_2) = a_3 + a_4 + a_5$

Теперь выразим обе части этого уравнения через $a_1$ и $d$:

Левая часть: $7(a_1 + (a_1 + d)) = 7(2a_1 + d) = 14a_1 + 7d$

Правая часть: $(a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 3a_1 + 9d$

Приравняем левую и правую части:

$14a_1 + 7d = 3a_1 + 9d$

$14a_1 - 3a_1 = 9d - 7d$

$11a_1 = 2d$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 20 \\ 11a_1 = 2d \end{cases}$

Подставим выражение для $2d$ из второго уравнения в первое:

$a_1 + 11a_1 = 20$

$12a_1 = 20$

$a_1 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Теперь, зная $a_1$, найдем $d$ из уравнения $11a_1 = 2d$:

$2d = 11 \cdot \frac{5}{3} = \frac{55}{3}$

$d = \frac{55}{6}$

Зная $a_1$ и $d$, мы можем найти, сколько хлеба получил каждый человек:

Первый: $a_1 = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$ меры.
Второй: $a_2 = a_1 + d = \frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6} = 10 \frac{5}{6}$ мер.
Третий: $a_3 = a_1 + 2d = \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{3} = \frac{60}{3} = 20$ мер.
Четвертый: $a_4 = a_1 + 3d = \frac{5}{3} + 3 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{2} = \frac{10}{6} + \frac{165}{6} = \frac{175}{6} = 29 \frac{1}{6}$ мер.
Пятый: $a_5 = a_1 + 4d = \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{110}{3} = \frac{115}{3} = 38 \frac{1}{3}$ мер.

Ответ: Первому человеку надо дать $1 \frac{2}{3}$ меры хлеба, второму — $10 \frac{5}{6}$ мер, третьему — $20$ мер, четвертому — $29 \frac{1}{6}$ мер, а пятому — $38 \frac{1}{3}$ меры.