Номер 26.6, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.6, страница 253.

Условие.

26.6. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_6 + a_8 - a_{14} = -17$ и $a_5 + a_{22} = 101$.

Решение.

Для нахождения суммы двадцати первых членов арифметической прогрессии $S_{20}$ необходимо определить ее первый член $a_1$ и разность $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Нам даны два уравнения:

1) $a_6 + a_8 - a_{14} = -17$

2) $a_5 + a_{22} = 101$

Выразим члены прогрессии в каждом уравнении через $a_1$ и $d$.

Рассмотрим первое уравнение:

$a_6 = a_1 + 5d$

$a_8 = a_1 + 7d$

$a_{14} = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) - (a_1 + 13d) = -17$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a_1 + 5d + a_1 + 7d - a_1 - 13d = -17$

$a_1 + (5+7-13)d = -17$

$a_1 - d = -17$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$a_5 = a_1 + 4d$

$a_{22} = a_1 + 21d$

Подставим эти выражения во второе уравнение:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 21d) = 101$

$2a_1 + 25d = 101$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$a_1 - d = -17$
$2a_1 + 25d = 101$

Из первого уравнения выразим $a_1$:

$a_1 = d - 17$

Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:

$2(d - 17) + 25d = 101$

$2d - 34 + 25d = 101$

$27d = 101 + 34$

$27d = 135$

$d = \frac{135}{27} = 5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d=5$ в выражение $a_1 = d - 17$:

$a_1 = 5 - 17 = -12$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = -12$, а разность $d = 5$.

Теперь можем найти сумму первых двадцати членов прогрессии $S_{20}$ по формуле:

$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20$

Упростим формулу, сократив на 2:

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставим найденные значения $a_1 = -12$ и $d = 5$:

$S_{20} = (2 \cdot (-12) + 19 \cdot 5) \cdot 10$

$S_{20} = (-24 + 95) \cdot 10$

$S_{20} = 71 \cdot 10$

$S_{20} = 710$

Ответ: 710