Номер 26.8, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.8, страница 253.

Условие.

26.8. Чему равна сумма $n$ первых:

1) натуральных чисел;

2) нечётных натуральных чисел?

Решение.

1) натуральных чисел;

Последовательность первых $n$ натуральных чисел представляет собой ряд $1, 2, 3, \ldots, n$.
Этот ряд является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1 = 1$, а $n$-й член $a_n = n$.
Сумму $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставив в эту формулу значения $a_1=1$ и $a_n=n$, получим:
$S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$
Ответ: $\frac{n(n+1)}{2}$.

2) нечётных натуральных чисел;

Последовательность первых $n$ нечётных натуральных чисел представляет собой ряд $1, 3, 5, \ldots$.
Это также арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 1$ и разность прогрессии $d = 2$.
Сначала необходимо найти $n$-й член этой прогрессии. Воспользуемся общей формулой $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.
Теперь, зная первый и $n$-й члены, найдем сумму $n$ первых членов по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим значения $a_1 = 1$ и $a_n = 2n - 1$:
$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Ответ: $n^2$.