Номер 26.15, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.15, страница 254.

Условие.

26.15. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,4; 7,8; 7,2; ...

Решение.

Для того чтобы найти сумму всех положительных членов данной арифметической прогрессии, сначала определим ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 8,4$.

Второй член прогрессии $a_2 = 7,8$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 7,8 - 8,4 = -0,6$.

Так как разность прогрессии отрицательна, прогрессия является убывающей. Это означает, что начиная с некоторого номера, ее члены станут отрицательными. Нам нужно найти все члены, которые больше нуля, и сложить их.

Определим количество положительных членов прогрессии. Для этого решим неравенство $a_n > 0$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$8,4 + (n-1)(-0,6) > 0$

$8,4 - 0,6(n-1) > 0$

$8,4 > 0,6(n-1)$

Разделим обе части неравенства на 0,6:

$\frac{8,4}{0,6} > n-1$

$14 > n-1$

$15 > n$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, это означает, что члены прогрессии с 1-го по 14-й включительно являются положительными. Всего в прогрессии 14 положительных членов.

Теперь найдем сумму этих 14 членов. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим $n=14$, $a_1=8,4$ и $d=-0,6$ в формулу:

$S_{14} = \frac{2 \cdot 8,4 + (14-1)(-0,6)}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{16,8 + 13 \cdot (-0,6)}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{16,8 - 7,8}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{9}{2} \cdot 14$

$S_{14} = 9 \cdot 7 = 63$

Таким образом, сумма всех положительных членов арифметической прогрессии равна 63.

Ответ: 63.