Номер 26.19, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.19, страница 254.

Условие.

26.19. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 8.

Решение.

Все трёхзначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, необходимо определить первый член этой прогрессии ($a_1$), последний член ($a_n$) и количество всех членов ($n$).

1. Нахождение первого члена прогрессии.

Наименьшее трёхзначное число — это 100. Найдём первое трёхзначное число, которое делится на 8 без остатка. Для этого разделим 100 на 8:

$100 \div 8 = 12$ с остатком 4.

Это означает, что число $8 \times 12 = 96$ является кратным 8. Следующее число, кратное 8, будет $96 + 8 = 104$. Это и есть наименьшее трёхзначное число, кратное 8.

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 104$.

2. Нахождение последнего члена прогрессии.

Наибольшее трёхзначное число — это 999. Найдём наибольшее трёхзначное число, которое делится на 8 без остатка. Разделим 999 на 8:

$999 \div 8 = 124$ с остатком 7.

Чтобы найти искомое число, нужно от 999 отнять остаток: $999 - 7 = 992$. Также можно умножить целую часть частного на 8: $124 \times 8 = 992$.

Таким образом, последний член прогрессии $a_n = 992$.

3. Нахождение количества членов прогрессии.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна 8. Используем формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения:

$992 = 104 + (n-1) \times 8$

$992 - 104 = 8(n-1)$

$888 = 8(n-1)$

$n-1 = \frac{888}{8}$

$n-1 = 111$

$n = 112$

Следовательно, существует 112 трёхзначных чисел, кратных 8.

4. Нахождение суммы всех членов прогрессии.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$.

Подставим наши значения:

$S_{112} = \frac{104 + 992}{2} \times 112$

$S_{112} = \frac{1096}{2} \times 112$

$S_{112} = 548 \times 112$

$S_{112} = 61376$

Ответ: 61376