Номер 26.25, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.25, страница 254.

Условие.

26.25. Может ли сумма каких-либо пяти последовательных членов арифметической прогрессии 3, 7, 11, ... быть равной 135? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Решение.

Заданная арифметическая прогрессия начинается с членов 3, 7, 11, ... Найдем ее параметры. Первый член $a_1 = 3$. Разность прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами: $d = 7 - 3 = 4$.

Пусть пять последовательных членов, сумма которых нас интересует, начинаются с члена $a_n$. Тогда эти члены можно записать как: $a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$, $a_{n+3}$, $a_{n+4}$. Выразим их через $a_n$ и разность $d$: $a_n$, $a_n+d$, $a_n+2d$, $a_n+3d$, $a_n+4d$.

Найдем их сумму $S$, сложив все пять выражений: $S = a_n + (a_n+d) + (a_n+2d) + (a_n+3d) + (a_n+4d) = 5a_n + 10d$.

По условию задачи, сумма равна 135. Подставим это значение, а также найденную разность $d=4$ в формулу суммы и решим уравнение относительно $a_n$: $135 = 5a_n + 10 \cdot 4$ $135 = 5a_n + 40$ $5a_n = 135 - 40$ $5a_n = 95$ $a_n = \frac{95}{5} = 19$.

Мы выяснили, что первый из этих пяти членов должен быть равен 19. Теперь необходимо проверить, существует ли такой член в данной прогрессии. Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и найдем номер $n$ для члена, равного 19: $19 = 3 + (n-1) \cdot 4$ $19 - 3 = (n-1) \cdot 4$ $16 = (n-1) \cdot 4$ $4 = n-1$ $n = 5$.

Поскольку мы получили натуральное число $n=5$, это означает, что 19 является пятым членом этой прогрессии. Следовательно, сумма пяти последовательных членов данной прогрессии действительно может быть равна 135.

Осталось найти сами эти пять членов. Первый из них — это $a_5 = 19$. Остальные четыре находим, последовательно прибавляя разность $d=4$:

• $19$
• $19 + 4 = 23$
• $23 + 4 = 27$
• $27 + 4 = 31$
• $31 + 4 = 35$

Таким образом, искомые члены: 19, 23, 27, 31, 35.

Ответ: Да, может. Эти члены: 19, 23, 27, 31, 35.