Номер 26.32, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.32, страница 255.

Условие.

26.32. Разность арифметической прогрессии равна $28$, а сумма $5$ первых членов в $4$ раза меньше суммы следующих $6$ членов. Чему равен первый член прогрессии?

Решение.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а разность как $d$.

По условию задачи, разность прогрессии $d = 28$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Найдем сумму первых пяти членов ($S_5$):

$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = (a_1 + 2d) \cdot 5$

Подставим известное значение $d=28$:

$S_5 = (a_1 + 2 \cdot 28) \cdot 5 = (a_1 + 56) \cdot 5 = 5a_1 + 280$

Далее, найдем сумму следующих шести членов. Это члены с шестого ($a_6$) по одиннадцатый ($a_{11}$) включительно. Их сумму можно найти как разность суммы первых одиннадцати членов ($S_{11}$) и суммы первых пяти членов ($S_5$).

Сначала найдем сумму первых одиннадцати членов ($S_{11}$):

$S_{11} = \frac{2a_1 + (11-1)d}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = (a_1 + 5d) \cdot 11$

Подставим значение $d=28$:

$S_{11} = (a_1 + 5 \cdot 28) \cdot 11 = (a_1 + 140) \cdot 11 = 11a_1 + 1540$

Теперь вычислим сумму следующих шести членов:

Сумма следующих шести членов = $S_{11} - S_5 = (11a_1 + 1540) - (5a_1 + 280) = 6a_1 + 1260$

По условию задачи, сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Это означает, что сумма следующих шести членов в 4 раза больше суммы первых пяти членов:

$S_{11} - S_5 = 4 \cdot S_5$

Подставим полученные выражения в это уравнение:

$6a_1 + 1260 = 4 \cdot (5a_1 + 280)$

Решим это уравнение относительно $a_1$:

$6a_1 + 1260 = 20a_1 + 1120$

$1260 - 1120 = 20a_1 - 6a_1$

$140 = 14a_1$

$a_1 = \frac{140}{14}$

$a_1 = 10$

Ответ: 10