Номер 26.31, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.31, страница 255.

Условие.

26.31. Первый член арифметической прогрессии равен $a_1 = 100$, а сумма шести первых членов $S_6$ в 5 раз больше суммы следующих шести членов $S_{12} - S_6$. Чему равна разность прогрессии $d$? ($S_6 = 5(S_{12} - S_6)$)

Решение.

Пусть $a_1$ – первый член арифметической прогрессии, а $d$ – её разность. По условию задачи, первый член равен 100, то есть $a_1 = 100$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$.

Сумма первых шести членов прогрессии равна $S_6$. $S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6 = (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 6a_1 + 15d$.

Следующие шесть членов – это члены с 7-го по 12-й включительно. Их сумма может быть найдена как разность суммы первых двенадцати членов ($S_{12}$) и суммы первых шести членов ($S_6$).

Найдем сумму первых двенадцати членов $S_{12}$: $S_{12} = \frac{2a_1 + d(12-1)}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 11d) \cdot 6 = 12a_1 + 66d$.

Сумма следующих шести членов равна $S_{12} - S_6$.

По условию, сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Запишем это в виде уравнения: $S_6 = 5 \cdot (S_{12} - S_6)$.

Раскроем скобки и упростим уравнение: $S_6 = 5S_{12} - 5S_6$ $6S_6 = 5S_{12}$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $S_6$ и $S_{12}$: $6(6a_1 + 15d) = 5(12a_1 + 66d)$ $36a_1 + 90d = 60a_1 + 330d$

Соберем слагаемые с $d$ в одной части уравнения, а с $a_1$ – в другой: $90d - 330d = 60a_1 - 36a_1$ $-240d = 24a_1$

Выразим $d$ через $a_1$: $d = -\frac{24a_1}{240} = -\frac{a_1}{10}$

Подставим известное значение $a_1 = 100$: $d = -\frac{100}{10} = -10$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -10.

Ответ: -10