Номер 26.34, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.34, страница 255.

Условие.

26.34. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50$.

Решение.

Пусть ($a_n$) — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи дано, что $a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50$.

Выразим каждый из этих членов через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение: $(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = 50$.

Сгруппируем и сложим слагаемые с $a_1$ и с $d$: $(a_1 + a_1 + a_1 + a_1) + (4d + 9d + 11d + 14d) = 50$
$4a_1 + 38d = 50$.

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $2a_1 + 19d = 25$.

Нам необходимо найти сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии, $S_{20}$. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Применим эту формулу для $n=20$: $S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20$.

Из предыдущих шагов мы знаем, что выражение в числителе $2a_1 + 19d$ равно 25. Подставим это значение в формулу для $S_{20}$: $S_{20} = \frac{25}{2} \cdot 20$.

Выполним вычисление: $S_{20} = 25 \cdot \frac{20}{2} = 25 \cdot 10 = 250$.

Ответ: 250.