Номер 26.40, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.40, страница 256.

Условие.

26.40. В арифметической прогрессии $S_m = S_n$, $m \neq n$. Найдите $S_{m+n}$.

Решение.

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:$S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2} \cdot k$.

Согласно условию задачи, $S_m = S_n$ для некоторых $m, n \in \mathbb{N}$ и $m \neq n$. Запишем это равенство, используя формулу суммы:$\frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Умножим обе части равенства на 2:$(2a_1 + d(m-1)) \cdot m = (2a_1 + d(n-1)) \cdot n$.

Раскроем скобки:$2a_1m + dm(m-1) = 2a_1n + dn(n-1)$$2a_1m + dm^2 - dm = 2a_1n + dn^2 - dn$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их по $a_1$ и $d$:$(2a_1m - 2a_1n) + (dm^2 - dn^2) - (dm - dn) = 0$$2a_1(m - n) + d(m^2 - n^2) - d(m - n) = 0$.

Вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки, используя формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$:$(m-n)[2a_1 + d(m+n) - d] = 0$.

По условию $m \neq n$, следовательно, множитель $(m-n) \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(m-n)$, и равенство останется верным:$2a_1 + d(m+n) - d = 0$$2a_1 + d(m+n-1) = 0$.

Теперь нам нужно найти $S_{m+n}$. Запишем формулу для суммы первых $m+n$ членов:$S_{m+n} = \frac{2a_1 + d((m+n)-1)}{2} \cdot (m+n)$.

Из предыдущего шага мы знаем, что выражение в числителе дроби, $2a_1 + d(m+n-1)$, равно 0. Подставим это значение в формулу для $S_{m+n}$:$S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n) = 0 \cdot (m+n) = 0$.

Ответ: $0$.