Номер 26.44, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.44, страница 256.

Условие.

26.44. Известно, что целое число $n$ не кратно 3. Докажите, что значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Решение.

Поскольку целое число $n$ не кратно 3, то при делении на 3 оно может давать в остатке 1 или 2. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в $n^2 + 8$:

$(3k + 1)^2 + 8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8 = 9k^2 + 6k + 9$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9k^2 + 6k + 9 = 3(3k^2 + 2k + 3)$.

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 2k + 3$ также является целым числом. Следовательно, значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Случай 2: $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.

В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в $n^2 + 8$:

$(3k + 2)^2 + 8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8 = 9k^2 + 12k + 12$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$9k^2 + 12k + 12 = 3(3k^2 + 4k + 4)$.

Так как $k$ — целое число, то выражение в скобках $3k^2 + 4k + 4$ также является целым числом. Следовательно, значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи для целого числа $n$, не кратного 3, и в каждом из них доказали, что значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Альтернативный способ доказательства:

Преобразуем выражение $n^2 + 8$ следующим образом:

$n^2 + 8 = n^2 - 1 + 9 = (n-1)(n+1) + 9$.

Рассмотрим произведение $(n-1)(n+1)$. Числа $n-1$, $n$, $n+1$ являются тремя последовательными целыми числами. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно кратно 3.

По условию задачи, число $n$ не кратно 3. Это означает, что кратным 3 должно быть либо число $n-1$, либо число $n+1$. В любом случае их произведение $(n-1)(n+1)$ будет кратно 3.

Таким образом, выражение $(n-1)(n+1) + 9$ представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых кратно 3 (первое слагаемое $(n-1)(n+1)$ кратно 3, и второе слагаемое 9 также кратно 3). Сумма двух чисел, кратных 3, также всегда кратна 3.

Следовательно, значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.

Ответ: Утверждение доказано: если целое число $n$ не кратно 3, то значение выражения $n^2 + 8$ кратно 3.