Номер 27.2, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.2, страница 261.

Условие.

27.2. Найдите знаменатель и пятый член геометрической прогрессии

$\frac{1}{216}, \frac{1}{36}, \frac{1}{6}, \ldots$

Решение.

Дана геометрическая прогрессия ($b_n$), первые члены которой $b_1 = \frac{1}{216}$, $b_2 = \frac{1}{36}$, $b_3 = \frac{1}{6}$.

Знаменатель

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Вычислим знаменатель, используя второй и первый члены:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/36}{1/216} = \frac{1}{36} \cdot \frac{216}{1} = \frac{216}{36} = 6$.

Для проверки можно использовать третий и второй члены:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/6}{1/36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{1} = \frac{36}{6} = 6$.

Знаменатель прогрессии равен 6.
Ответ: $6$

Пятый член

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Нам необходимо найти пятый член, то есть $b_5$.

Подставим известные значения $b_1 = \frac{1}{216}$ и $q=6$ в формулу для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = \frac{1}{216} \cdot 6^4$.

Так как $216 = 6^3$, то вычисление упрощается:

$b_5 = \frac{1}{6^3} \cdot 6^4 = 6^{4-3} = 6^1 = 6$.

Альтернативный способ — последовательно найти четвертый и пятый члены, умножая на знаменатель $q=6$:

$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1$

$b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot 6 = 6$

Пятый член прогрессии равен 6.
Ответ: $6$