Номер 27.8, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.8, страница 261.

Условие.

27.8. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, ... .

Найдите номер этого члена.

Решение.

Дана геометрическая прогрессия $b_n$, где первые члены равны 2, 6, 18, ...

Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, который равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Возьмем второй и первый члены:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$.

Для проверки можно взять третий и второй члены:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{18}{6} = 3$.

Знаменатель прогрессии $q = 3$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, нам нужно найти номер $n$ члена прогрессии, который равен 486. То есть, $b_n = 486$.

Подставим известные значения ($b_1 = 2$, $q = 3$, $b_n = 486$) в формулу:

$486 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Чтобы найти $n$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 2:

$\frac{486}{2} = 3^{n-1}$

$243 = 3^{n-1}$

Теперь нужно представить число 243 как степень с основанием 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$3^5 = 3^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$5 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Таким образом, число 486 является шестым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 6