Номер 27.5, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.5, страница 261.

Условие.

27.5. Докажите, что если последовательность $ (y_n) $ — геометрическая прогрессия, то $ y_4y_{21} = y_8y_{17} $.

Решение.

Пусть $(y_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $y_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$.

Для доказательства равенства $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$ выразим каждую его часть через $y_1$ и $q$.

Сначала преобразуем левую часть равенства:
$y_4 = y_1 \cdot q^{4-1} = y_1 \cdot q^3$
$y_{21} = y_1 \cdot q^{21-1} = y_1 \cdot q^{20}$
Таким образом, произведение $y_4 y_{21}$ равно:
$y_4 y_{21} = (y_1 \cdot q^3) \cdot (y_1 \cdot q^{20}) = y_1^2 \cdot q^{3+20} = y_1^2 \cdot q^{23}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:
$y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 \cdot q^7$
$y_{17} = y_1 \cdot q^{17-1} = y_1 \cdot q^{16}$
Таким образом, произведение $y_8 y_{17}$ равно:
$y_8 y_{17} = (y_1 \cdot q^7) \cdot (y_1 \cdot q^{16}) = y_1^2 \cdot q^{7+16} = y_1^2 \cdot q^{23}$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $y_1^2 \cdot q^{23}$, то равенство $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.