Номер 26.45, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии - номер 26.45, страница 256.

Условие.

26.45. Найдите решения неравенства $(a^2 - 1) x \le a - 1$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Для решения неравенства $(a^2 - 1)x \le a - 1$ необходимо рассмотреть три случая в зависимости от знака коэффициента при $x$, то есть выражения $a^2 - 1$.

Случай 1: $a^2 - 1 > 0$

Это условие выполняется при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Так как коэффициент при $x$ положителен, при делении на него знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{a - 1}{a^2 - 1}$

Упростим правую часть, разложив знаменатель на множители $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$ и, поскольку $a \ne 1$, сократив дробь на $(a-1)$:

$x \le \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}$

Ответ: при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{a + 1}]$.

Случай 2: $a^2 - 1 < 0$

Это условие выполняется при $a \in (-1, 1)$. Так как коэффициент при $x$ отрицателен, при делении на него знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{a - 1}{a^2 - 1}$

После сокращения дроби получаем:

$x \ge \frac{1}{a + 1}$

Ответ: при $a \in (-1, 1)$, решение $x \in [\frac{1}{a + 1}, \infty)$.

Случай 3: $a^2 - 1 = 0$

Это равенство достигается при $a = 1$ или $a = -1$. Рассмотрим эти два значения параметра отдельно.

а) При $a = 1$ неравенство принимает вид:

$(1^2 - 1)x \le 1 - 1 \implies 0 \cdot x \le 0$

Неравенство $0 \le 0$ является верным для любого действительного числа $x$.

Ответ: при $a = 1$, $x \in \mathbb{R}$.

б) При $a = -1$ неравенство принимает вид:

$((-1)^2 - 1)x \le -1 - 1 \implies 0 \cdot x \le -2$

Неравенство $0 \le -2$ является неверным, поэтому решений нет.

Ответ: при $a = -1$, решений нет ($x \in \emptyset$).