Номер 27.1, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.1, страница 261.

Условие.

27.1. Последовательность $(b_n)$ такова, что $b_1 = 8$, $b_{n+1} = -b_n$. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Решение.

27.1.

По определению, числовая последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется условие $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $b_1 \neq 0$ и $q$ — некоторое постоянное число, не равное нулю (знаменатель прогрессии).

В условии задачи дана последовательность $(b_n)$, для которой известны первый член $b_1 = 8$ и рекуррентная формула $b_{n+1} = -b_n$.

Проверим, выполняются ли для этой последовательности условия из определения геометрической прогрессии.

1. Первый член $b_1=8$. Так как $8 \neq 0$, первое условие выполнено.

2. Рекуррентную формулу $b_{n+1} = -b_n$ можно переписать в виде $b_{n+1} = (-1) \cdot b_n$.

Сравнивая эту формулу с определением $b_{n+1} = b_n \cdot q$, видим, что они имеют одинаковую структуру. В данном случае знаменатель $q$ является постоянной величиной, равной $-1$.

3. Знаменатель $q = -1$. Так как $-1 \neq 0$, это условие также выполнено.

Поскольку все условия определения выполнены, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 8$ и знаменателем $q = -1$.

Ответ: Да, является.