Номер 27.3, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.3, страница 261.

Условие.

27.3. Найдите знаменатель и шестой член геометрической прогрессии 18, 12, 8, ... .

Решение.

Знаменатель
Дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой первый член $b_1 = 18$, а второй член $b_2 = 12$.
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему по формуле $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Вычислим знаменатель, используя первые два члена: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{18}$.
Сократим дробь на 6: $q = \frac{2}{3}$.
Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{2}{3}$.

Шестой член
Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Чтобы найти шестой член прогрессии ($b_6$), подставим в формулу известные значения: первый член $b_1 = 18$ и найденный знаменатель $q = \frac{2}{3}$.
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 18 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5$.
Выполним вычисления: $b_6 = 18 \cdot \frac{2^5}{3^5} = 18 \cdot \frac{32}{243}$.
$b_6 = \frac{18 \cdot 32}{243} = \frac{576}{243}$.
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9: $b_6 = \frac{576 \div 9}{243 \div 9} = \frac{64}{27}$.
Это значение также можно представить в виде смешанного числа $2\frac{10}{27}$.
Ответ: шестой член прогрессии равен $\frac{64}{27}$.