Номер 27.13, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.13, страница 262.

Условие.

27.13. Докажите, что последовательность ($x_n$), заданная формулой $n$-го члена $x_n = 7^{n+1}$, является геометрической прогрессией, и укажите её первый член и знаменатель.

Решение.

Для того чтобы доказать, что последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянным числом. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. То есть, для любого натурального $n$ должно выполняться равенство $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$, где $q$ - константа.

Последовательность задана формулой $n$-го члена $x_n = 7^{n+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член этой последовательности, заменив в формуле $n$ на $n+1$:

$x_{n+1} = 7^{(n+1)+1} = 7^{n+2}$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{7^{n+2}}{7^{n+1}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получим:

$\frac{7^{n+2}}{7^{n+1}} = 7^{(n+2)-(n+1)} = 7^{n+2-n-1} = 7^1 = 7$.

Поскольку отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ равно 7, то есть является постоянным числом, не зависящим от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 7$.

Теперь найдем первый член прогрессии $x_1$. Для этого подставим $n=1$ в формулу $n$-го члена:

$x_1 = 7^{1+1} = 7^2 = 49$.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией, ее первый член $x_1 = 49$, а знаменатель $q = 7$.