Номер 27.17, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.17, страница 262.

Условие.

27.17. Третий член геометрической прогрессии равен 3. Найдите произведение пяти первых членов этой прогрессии.

Решение.

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, где $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, третий член прогрессии равен 3, то есть $b_3 = 3$. Используя формулу n-го члена для $n=3$, получаем:$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 q^2$. Следовательно, мы имеем равенство: $b_1 q^2 = 3$.

Требуется найти произведение первых пяти членов этой прогрессии. Обозначим это произведение как $P_5$:$P_5 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5$.

Теперь выразим каждый из этих пяти членов через $b_1$ и $q$ и подставим в выражение для $P_5$:$P_5 = b_1 \cdot (b_1 q^1) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4)$.

Сгруппируем множители с $b_1$ и с $q$ и воспользуемся свойством степеней:$P_5 = (b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1) \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot q^3 \cdot q^4) = b_1^5 \cdot q^{0+1+2+3+4} = b_1^5 q^{10}$.

Преобразуем полученное выражение, снова используя свойство степеней $a^n b^n = (ab)^n$:$P_5 = b_1^5 \cdot (q^2)^5 = (b_1 q^2)^5$.

Ранее мы установили, что $b_1 q^2 = b_3 = 3$. Подставим это значение в наше выражение для $P_5$:$P_5 = (b_3)^5 = 3^5$.

Осталось вычислить полученное значение:$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Ответ: 243