Номер 27.22, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.22, страница 263.

Условие.

27.22. Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $b_2, b_4, \dots, b_{2n}$;

2) $b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, \dots, b_{n-2}b_n$?

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Общий член этой прогрессии задается формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

1) $b_2, b_4, ..., b_{2n}$

Рассмотрим новую последовательность $(c_k)$, члены которой равны членам исходной последовательности с четными номерами: $c_k = b_{2k}$.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(c_k)$ геометрической прогрессией, необходимо найти отношение ее соседних членов $\frac{c_{k+1}}{c_k}$ и проверить, является ли оно постоянной величиной.

$c_{k+1} = b_{2(k+1)} = b_{2k+2}$

Найдем отношение:

$\frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{b_{2k+2}}{b_{2k}}$

Используя формулу общего члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_{2k} = b_1 \cdot q^{2k-1}$

$b_{2k+2} = b_1 \cdot q^{(2k+2)-1} = b_1 \cdot q^{2k+1}$

Тогда:

$\frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{b_1 \cdot q^{2k+1}}{b_1 \cdot q^{2k-1}} = q^{(2k+1)-(2k-1)} = q^{2k+1-2k+1} = q^2$

Отношение соседних членов последовательности $(c_k)$ постоянно и равно $q^2$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

2) $b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, ..., b_{n-2}b_n$

Рассмотрим новую последовательность $(d_k)$, где $d_k = b_k \cdot b_{k+2}$.

Найдем отношение соседних членов этой последовательности $\frac{d_{k+1}}{d_k}$:

$d_{k+1} = b_{k+1} \cdot b_{(k+1)+2} = b_{k+1} \cdot b_{k+3}$

$\frac{d_{k+1}}{d_k} = \frac{b_{k+1} \cdot b_{k+3}}{b_k \cdot b_{k+2}}$

По определению геометрической прогрессии, $b_{m+1} = b_m \cdot q$. Используем это свойство:

$b_{k+1} = b_k \cdot q$

$b_{k+3} = b_{k+2} \cdot q$

Подставим эти выражения в отношение:

$\frac{d_{k+1}}{d_k} = \frac{(b_k \cdot q) \cdot (b_{k+2} \cdot q)}{b_k \cdot b_{k+2}} = \frac{b_k \cdot b_{k+2} \cdot q^2}{b_k \cdot b_{k+2}} = q^2$

Можно также представить отношение в виде произведения двух отношений:

$\frac{d_{k+1}}{d_k} = \frac{b_{k+1}}{b_k} \cdot \frac{b_{k+3}}{b_{k+2}}$

Так как $\frac{b_{k+1}}{b_k} = q$ и $\frac{b_{k+3}}{b_{k+2}} = q$, то:

$\frac{d_{k+1}}{d_k} = q \cdot q = q^2$

Отношение соседних членов последовательности $(d_k)$ постоянно и равно $q^2$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.