Номер 27.16, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.16, страница 262.

Условие.

27.16. Второй член геометрической прогрессии равен 6. Найдите произведение трёх первых членов этой прогрессии.

Решение.

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, где $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, второй член прогрессии равен 6, то есть $b_2 = 6$.

Используя формулу для $n=2$, получаем: $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$.

Следовательно, мы имеем равенство $b_1 \cdot q = 6$.

Требуется найти произведение трёх первых членов этой прогрессии, которое обозначим как $P_3$:$P_3 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3$

Выразим члены $b_1$, $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:
$b_1 = b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Теперь подставим эти выражения в формулу для произведения:$P_3 = b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2)$

Сгруппируем множители:$P_3 = (b_1 \cdot b_1 \cdot b_1) \cdot (q \cdot q^2) = b_1^3 \cdot q^3 = (b_1 \cdot q)^3$

Так как мы знаем, что $b_1 \cdot q = b_2 = 6$, мы можем подставить это значение в полученное выражение:$P_3 = (b_2)^3 = 6^3$

Вычислим результат:$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Альтернативное решение:
Для любой геометрической прогрессии квадрат её члена равен произведению его равноотстоящих соседей. В нашем случае для первых трёх членов выполняется свойство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
Тогда произведение первых трёх членов можно записать как:$P_3 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (b_1 \cdot b_3) \cdot b_2 = b_2^2 \cdot b_2 = b_2^3$.
Подставляя известное значение $b_2 = 6$, получаем:$P_3 = 6^3 = 216$.

Ответ: 216