Номер 27.21, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.21, страница 262.

Условие.

27.21. Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $b_1, b_3, ..., b_{2n-1}$;

2) $2b_1, 2b_2, ..., 2b_n$;

3) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, ..., b_{n-1} + b_n$;

4) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, ..., \frac{1}{b_n}$?

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Проверим каждую из предложенных последовательностей.

1) $b_1, b_3, \dots, b_{2n-1}, \dots;$

Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Обозначим члены новой последовательности $(c_k)$, где $k$-й член $c_k = b_{2k-1}$. Чтобы определить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдём отношение $(k+1)$-го члена к $k$-му: $ \frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{b_{2(k+1)-1}}{b_{2k-1}} = \frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}} $. Используя формулу для $n$-го члена исходной прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, получаем: $ \frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}} = \frac{b_1 q^{(2k+1)-1}}{b_1 q^{(2k-1)-1}} = \frac{b_1 q^{2k}}{b_1 q^{2k-2}} = q^{2k - (2k-2)} = q^2 $. Поскольку отношение является постоянной величиной $q^2$, не зависящей от $k$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

2) $2b_1, 2b_2, \dots, 2b_n, \dots;$

Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Пусть $c_n = 2b_n$ — $n$-й член новой последовательности. Найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му: $ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{2b_{n+1}}{2b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} $. Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то по определению $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Следовательно, отношение членов новой последовательности постоянно и равно $q$, значит, она является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q$.

3) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, \dots, b_{n-1} + b_n, \dots;$

Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Пусть $c_k = b_k + b_{k+1}$ — $k$-й член новой последовательности. Рассмотрим $(k+1)$-й член этой последовательности: $ c_{k+1} = b_{k+1} + b_{k+2} $. Используя свойство исходной прогрессии $b_{m+1} = b_m \cdot q$, выразим $c_{k+1}$ через $c_k$: $ c_{k+1} = b_{k+1} + b_{k+2} = b_k \cdot q + b_{k+1} \cdot q = q(b_k + b_{k+1}) = q \cdot c_k $. Соотношение $c_{k+1} = q \cdot c_k$ означает, что последовательность $(c_k)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q$.

4) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}, \dots$?

Да, данная последовательность является геометрической прогрессией при условии, что она определена. Для этого необходимо, чтобы все члены исходной последовательности $b_n$ были отличны от нуля, то есть $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$. Пусть $c_n = \frac{1}{b_n}$ — $n$-й член новой последовательности. Найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му: $ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{1/b_{n+1}}{1/b_n} = \frac{b_n}{b_{n+1}} $. Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Соответственно, обратное отношение $\frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}$. Отношение членов новой последовательности постоянно и равно $\frac{1}{q}$, значит, она является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является (при условии, что все $b_n \ne 0$). Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{q}$.