Номер 27.25, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.25, страница 263.

Условие.

27.25. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 1$, $x + 5$ и $x + 11$

являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Пусть данные выражения $b_1 = 2x + 1$, $b_2 = x + 5$ и $b_3 = x + 11$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Для трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов.
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в это равенство, чтобы составить уравнение относительно $x$:
$(x + 5)^2 = (2x + 1)(x + 11)$

При каком значении x

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в обеих частях:
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 22x + x + 11$
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 11$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - x^2 + 23x - 10x + 11 - 25 = 0$
$x^2 + 13x - 14 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -13$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -14$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-14$.
$x_1 = 1$
$x_2 = -14$

Ответ: при $x=1$ или $x=-14$.

Найдите члены этой прогрессии

Теперь найдем сами члены прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. Если $x = 1$:
Первый член: $b_1 = 2(1) + 1 = 3$
Второй член: $b_2 = 1 + 5 = 6$
Третий член: $b_3 = 1 + 11 = 12$
Последовательность: 3, 6, 12.

2. Если $x = -14$:
Первый член: $b_1 = 2(-14) + 1 = -28 + 1 = -27$
Второй член: $b_2 = -14 + 5 = -9$
Третий член: $b_3 = -14 + 11 = -3$
Последовательность: -27, -9, -3.

Ответ: при $x=1$ члены прогрессии равны 3, 6, 12; при $x=-14$ члены прогрессии равны -27, -9, -3.