Номер 27.24, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.24, страница 263.

Условие.

27.24. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_4 - b_2 = 30$ и $b_4 - b_3 = 24$;

2) $b_2 - b_5 = 78$ и $b_3 + b_4 + b_5 = -117$.

Решение.

1)

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии ($b_n$):

$\begin{cases} b_4 - b_2 = 30 \\ b_4 - b_3 = 24 \end{cases}$

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Выразим члены прогрессии, входящие в систему, через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$\begin{cases} b_1q^3 - b_1q = 30 \\ b_1q^3 - b_1q^2 = 24 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(q^2 - 1) = 30 \\ b_1q^2(q - 1) = 24 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Это возможно, так как из условий $b_4 - b_2 = 30$ и $b_4 - b_3 = 24$ следует, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$.

$\frac{b_1q(q^2 - 1)}{b_1q^2(q - 1)} = \frac{30}{24}$

Упростим левую часть, используя формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$ и сокращая общие множители:

$\frac{\cancel{b_1}\cancel{q}(\cancel{q - 1})(q + 1)}{\cancel{b_1}q^{\cancel{2}}(\cancel{q - 1})} = \frac{q+1}{q}$

Упростим правую часть, сократив дробь на 6:

$\frac{30}{24} = \frac{5}{4}$

Получаем уравнение для нахождения $q$:

$\frac{q+1}{q} = \frac{5}{4}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции:

$4(q+1) = 5q$

$4q + 4 = 5q$

$q = 4$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q=4$ во второе уравнение исходной системы $b_1q^2(q - 1) = 24$:

$b_1 \cdot 4^2(4 - 1) = 24$

$b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 24$

$48b_1 = 24$

$b_1 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$, знаменатель $q = 4$.

2)

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии ($b_n$):

$\begin{cases} b_2 - b_5 = 78 \\ b_3 + b_4 + b_5 = -117 \end{cases}$

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$. Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

$b_5 = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему:

$\begin{cases} b_1q - b_1q^4 = 78 \\ b_1q^2 + b_1q^3 + b_1q^4 = -117 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(1 - q^3) = 78 \\ b_1q^2(1 + q + q^2) = -117 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (при $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$):

$\frac{b_1q(1 - q^3)}{b_1q^2(1 + q + q^2)} = \frac{78}{-117}$

Упростим левую часть, используя формулу разности кубов $1 - q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$ и сокращая общие множители:

$\frac{\cancel{b_1}\cancel{q}(1-q)(\cancel{1+q+q^2})}{\cancel{b_1}q^{\cancel{2}}(\cancel{1+q+q^2})} = \frac{1-q}{q}$

Упростим правую часть, сократив дробь на 39 ($78=2 \cdot 39, 117=3 \cdot 39$):

$\frac{78}{-117} = -\frac{2}{3}$

Получаем уравнение для нахождения $q$:

$\frac{1-q}{q} = -\frac{2}{3}$

Решим уравнение:

$3(1-q) = -2q$

$3 - 3q = -2q$

$3 = q$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q=3$ в первое уравнение системы $b_1q(1 - q^3) = 78$:

$b_1 \cdot 3 \cdot (1 - 3^3) = 78$

$b_1 \cdot 3 \cdot (1 - 27) = 78$

$b_1 \cdot 3 \cdot (-26) = 78$

$-78b_1 = 78$

$b_1 = -1$

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = -1$, знаменатель $q = 3$.