Номер 27.28, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.28, страница 263.

Условие.

27.28. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

Пусть три искомых положительных числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства представим их в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 21$

$3a = 21$

$a = 7$

Теперь мы знаем средний член прогрессии. Исходные числа можно записать как $7 - d$, $7$, $7 + d$.

Поскольку по условию все числа положительные, должны выполняться неравенства:

$7 - d > 0 \implies d < 7$

$7 + d > 0 \implies d > -7$

Таким образом, разность $d$ находится в интервале $(-7, 7)$.

Далее, к исходным числам прибавляют соответственно 2, 3 и 9. Получаем новую последовательность чисел:

• $(7 - d) + 2 = 9 - d$
• $7 + 3 = 10$
• $(7 + d) + 9 = 16 + d$

Эти новые числа, $(9 - d)$, $10$ и $(16 + d)$, образуют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии из трёх членов квадрат среднего члена равен произведению двух крайних. Запишем это свойство в виде уравнения:

$10^2 = (9 - d)(16 + d)$

Решим это уравнение:

$100 = 144 + 9d - 16d - d^2$

$100 = 144 - 7d - d^2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 7d - 44 = 0$

Найдём корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Корни для $d$:

$d_1 = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$d_2 = \frac{-7 - 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Теперь проверим, какой из корней удовлетворяет условию $-7 < d < 7$.

1. $d_1 = 4$. Это значение удовлетворяет условию, так как $-7 < 4 < 7$.
Найдём исходные числа: $7 - 4 = 3$, $7$, $7 + 4 = 11$.
Все числа (3, 7, 11) положительные. Их сумма $3+7+11=21$. После прибавления 2, 3 и 9 получаем числа $3+2=5$, $7+3=10$, $11+9=20$. Эта последовательность (5, 10, 20) является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$. Данное решение подходит.

2. $d_2 = -11$. Это значение не удовлетворяет условию $-7 < d < 7$.
Если мы подставим это значение, то исходные числа будут: $7 - (-11) = 18$, $7$, $7 + (-11) = -4$.
Одно из чисел, -4, является отрицательным, что противоречит условию задачи.

Таким образом, единственным верным решением является набор чисел, найденный при $d=4$.

Ответ: 3, 7, 11.