Номер 27.33, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 27. Геометрическая прогрессия - номер 27.33, страница 264.

Условие.

27.33. Найдите четыре числа, из которых первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, причём сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.

Решение.

Обозначим искомые четыре числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений:

1. Первые три числа ($a_1, a_2, a_3$) образуют геометрическую прогрессию, следовательно, для них выполняется характеристическое свойство: $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.
2. Последние три числа ($a_2, a_3, a_4$) образуют арифметическую прогрессию, следовательно, для них выполняется характеристическое свойство: $2a_3 = a_2 + a_4$.
3. Сумма крайних чисел равна 14: $a_1 + a_4 = 14$.
4. Сумма средних чисел равна 12: $a_2 + a_3 = 12$.

Решим эту систему уравнений. Из четвертого уравнения выразим $a_3$ через $a_2$:

$a_3 = 12 - a_2$.

Из третьего уравнения выразим $a_1$ через $a_4$:

$a_1 = 14 - a_4$.

Теперь подставим выражение для $a_3$ во второе уравнение, чтобы выразить $a_4$ через $a_2$:

$2(12 - a_2) = a_2 + a_4$

$24 - 2a_2 = a_2 + a_4$

$a_4 = 24 - 3a_2$.

Подставим полученное выражение для $a_4$ в выражение для $a_1$:

$a_1 = 14 - (24 - 3a_2) = 14 - 24 + 3a_2 = 3a_2 - 10$.

Теперь, когда $a_1$ и $a_3$ выражены через $a_2$, подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$a_2^2 = (3a_2 - 10)(12 - a_2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$a_2^2 = 36a_2 - 3a_2^2 - 120 + 10a_2$

$a_2^2 = -3a_2^2 + 46a_2 - 120$

$4a_2^2 - 46a_2 + 120 = 0$

Разделив уравнение на 2, получим: $2a_2^2 - 23a_2 + 60 = 0$.

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49 = 7^2$.

$a_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 7}{4}$.

Таким образом, получаем два возможных значения для $a_2$:

$a_{2,1} = \frac{23 - 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$a_{2,2} = \frac{23 + 7}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$

Рассмотрим оба варианта, которые приводят к двум наборам искомых чисел.

Решение 1

Пусть $a_2 = 4$. Найдем остальные числа:

• $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 4 = 8$
• $a_1 = 3a_2 - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$
• $a_4 = 14 - a_1 = 14 - 2 = 12$

Искомые числа: 2, 4, 8, 12.

Проведем проверку:

• Первые три числа 2, 4, 8 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=2$.
• Последние три числа 4, 8, 12 образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=4$.
• Сумма крайних чисел $2+12=14$.
• Сумма средних чисел $4+8=12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 2, 4, 8, 12.

Решение 2

Пусть $a_2 = \frac{15}{2}$. Найдем остальные числа:

• $a_3 = 12 - a_2 = 12 - \frac{15}{2} = \frac{24 - 15}{2} = \frac{9}{2}$
• $a_1 = 3a_2 - 10 = 3 \cdot \frac{15}{2} - 10 = \frac{45}{2} - \frac{20}{2} = \frac{25}{2}$
• $a_4 = 14 - a_1 = 14 - \frac{25}{2} = \frac{28 - 25}{2} = \frac{3}{2}$

Искомые числа: $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$ (или в виде десятичных дробей: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5).

Проведем проверку:

• Первые три числа $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{15/2}{25/2} = \frac{3}{5}$.
• Последние три числа $\frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = \frac{9}{2} - \frac{15}{2} = -3$.
• Сумма крайних чисел $\frac{25}{2} + \frac{3}{2} = \frac{28}{2} = 14$.
• Сумма средних чисел $\frac{15}{2} + \frac{9}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$.